두 점을 지나는 직선의 방정식 구하기

※ 내가 유도하는 식들은 내가 배운 내용을 복습하는게 아니고 아무것도 배우지 않은 상태에서 직접 식을 유도를 하는 거니까 오류가 있을 수 있으니 오류를 발견 했을 시 댓글에 남겨주면 좋을 것 같다.  또한 유도나 증명 방법이 일반적이지 않을 수 있으니 그 점 유의하기 바란다.

 

직선의 방정식을 구하는 것은 중학교 때 배운다. 그런데 그 방식은 y절편이나 x절편과 같은 정보를 알 때만 사용할 수 있는 것이라 크게 쓸모가 없었다(식 유도하는데에..) 그래서 이번에 원의 접선의 방정식 증명할 때 이것도 같이 증명했는데(원의 접선의 방정식 관련 글은 후에 포스팅 하겠다) 어렵지 않았다.

 

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우리는 직선이 하나로 결정되기 위해서는 두 점이 필요하다는 것을 중학교 때 배운다. 이러한 사실을 통해 우리는 두 개의 점의 좌표를 통해 직선의 방정식을 구할 수 있다는 것을 알 수 있다. 직선의 방정식은 y = ax + b꼴로 기울기 부분과 y절편, 그러니까 y = ax에서 얼만큼 평행이동 했는지에 대한 정보를 포함하고 있다. 직선의 방정식을 찾는 것은 한마디로 y절편 값과 기울기를 찾는 것과 같으니 두 부분으로 나누어 식 유도를 하겠다.

 

1. 기울기 구하기

 

A(a₁, a₂)와 B(b₁, b₂)를 지나는 직선의 방정식을 찾기 위한 그 첫 번째 과정인 기울기 구하기 이다. 원 점과 A(a₁, a₂)을 지나는 직선의 기울기를 구하는 방법은 그냥 기울기의 정의인 $ \frac{(y 증가량)}{x 증가량} $을 이용해 $ \frac {{a}_2}{{a}_1} $로 구하면 될 것이다. 그런데 A(a₁, a₂)와 B(b₁, b₂)를 지나는 직선이 꼭 원점을 지나리란 보장이 있는게 아니라서 다른 방법이 필요하다. 

 

사실 그 다른 방법이라는 것이 뭔가 크게 다른게 아니고 $ \frac {{a}_2-0}{{a}_1-0} $에서 0을 각각 B의 y좌표와 x좌표로 바꿔서 구하는 것인데 아래 그림을 보자. 

 

벡터를 한낱 화살표로 사용하는 그는 대체...

 

위의 그림을 보면 보면, x 증가량과 y 증가량은 각각 $ {a}_1 - {b}_1 $과 $ {a}_2 - {b}_2 $임을 알 수 있다. 정리하자면 A(a₁, a₂)와 B(b₁, b₂)를 지나는 직선의 기울기는 $ \frac{ {a}_2-{b}_2}{{a}_1-{b}_1} $라는 사실을 알 수 있다.

 

※ y 절편으로 인해 기울기 값이 이상하게 나오면 어떡하냐는 질문을 할 수도 있으나 y 절편의 값이 ${b}_2 $와 $ {a}_2$에 같이 들어가 차를 구하는 과정에서 사라지기 때문에 그런 걱정은 하지 않아도 된다.

 

2. y 절편 값 구하기

 

y 절편 값은 직선이 어느 방향으로 얼마나 평행 이동했는지를 의미한다. 이를 신경쓰지 않고 식을 구하게 되면, 이를테면  $ P(4, 11) $과 $ Q(7, 17) $을 지나는 직선을 단순히 $ y = 2x $라고 하게 되면 실제로는 $ P(4, 11) $와 $ Q(7, 17) $를 지나는 직선이 아닌 $ P(4, 8) $와 $ Q(7, 14) $를 지나는 직선이 생겨버린다. y 절편을 구하는 식을 보기 전에 $ y = \frac {1}{2}x + 3 $과 $ y = \frac {1}{2}x $ 그래프를 비교해 보겠다. 아래 그림을 보자.

 

 

위의 그림을 보면 " $ D({d}_1, {d}_2) $ 의 y좌표 $ - E({e}_1, {e}_2) $ 의 y 좌표"가 원래 구하려는 직선의 y 절편 값이라는 것을 알 수 있다. 여기서 중요한 사실은 점 E와 점 D의 x 좌표값이 같다는 사실이다. 이 사실을 이용해서 y 절편을 구해 보겠다.

 

점 B의 x 좌표값을 $ y = \frac{ {a}_2-{b}_2}{{a}_1-{b}_1}x $ 그래프에 넣어 $ {B}_2 $의 y 좌표값을 구한 후, 이 값을 점 B의 y 좌표값에서 빼면 y 절편이 나오게 된다. 이를 정리해 하나의 식으로 나타내면 y 절편을 구하는 식은 $ -\frac{ {a}_2-{b}_2}{{a}_1-{b}_1}{b}_1 + {b}_2$가 된다.

 

3. 정리

 

지금까지 유도한 y 절편 구하는 공식과 기울기 구하는 공식을 더하면 $ \frac{ {a}_2-{b}_2}{{a}_1-{b}_1}x  - \frac{ {a}_2-{b}_2}{{a}_1-{b}_1}{b}_1 + {b}_2 $가 되고 이를 동류항 정리를 이용해 정리하면 $ \frac{ {a}_2-{b}_2}{{a}_1-{b}_1}(x - {b}_1)  + {b}_2 $가 된다. $ A({a}_1, {a}_2) $와 $ B({b}_1, {b}_2) $ 를 지나는 직선의 방정식 구하는 공식 유도 끝-