정말 정말 쉬운 타원의 방정식 유도

원의 방정식을 아니 타원의 방정식도 알고 싶어졌다(혹시 타원에 접선의 방정식도..?) 원의 방정식을 유도 할 때는 원 위의 점과 원의 중심과의 거리가 같다라는 성질을 이용했으니 타원도 그와 비슷한 성질을 이용하면 될 것 같다는 생각이 든다(막상하고 나니 쉬웠다는...) 그럼 시작하겠다.

 

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타원(楕圓)은 평면 위의 두 정점에서 
거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 만들어지는 곡선이다. 

앞서 언급했듯이 타원의 방정식을 찾을 때도 타원의 "정의"를 이용하면 될 것이다. 그래서 위키백과에서 붙여넣은 타원의 정의이다. 두 정점에서 거리의 합이 일정한 점들, 이를 식으로 나타내면 원의 방정식과 같이 (정점 1과의 거리) + (정점 2와의 거리) = N으로 나타나게 될 것이다. 

피타고라스의 정리에 대한 증명은 이미지를 클릭하여 볼 수 있다

 

자, 그럼 이제 정점 1과 정점 2와의 거리를 어떻게 구할 수 있을까? 이는 피타고라스의 정리를 통해 쉽게 구할 수 있다.  피타고라스의 정리에 따르면 직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 그 마너지 변들의 제곱의 합과 같다. 이를 좌표 평면으로 가져와 생각해 보면, 점 P(p_1, p_2)와 점 Q(q_1, q_2)의 거리는 root(|p_1-q_1|^2 + |p_2-q_2|^2)임을 알 수 있다. 이를 이용해 타원의 방정식을 유도해 보겠다. 

 

점 Q(q_1, q_2)와 P(p_1, p_2)를 정점으로 하는 타원 위에 있는 점 A의 x좌표 값과 y좌표값을 각각 x와 y라는 변수로 두면, 두 정점과 A간의 거리는 언제나 일정해야 하니 root(|x-p_1|^2+|y-p_2|^2) + root(|x-q_1|^2+|y-q_2|^2) = N이라는 식이 나올 것이다. 이를 지오지브라를 통해 구현해 유도한 공식이 맞는지 검증해 보겠다. 

 

지오지브라의 수식 입력 창에 위의 공식을 문법에 맞게 고쳐서 쓰면 기하창에 타원이 그려질 것이다.

"sqrt((abs(x - q_1))² + (abs(y - q_2))²) + sqrt((abs(x - p_1))² + (abs(y - p_2))²) = 15"라고 기하기하창에 친 후 엔터를 누르면 위와 같은 예쁜(?) 타원이 나온다. 점 A와 두 접점 간의 거리도 항상 15로 일정하니 타원이 잘 나온 것 같다. 그럼 이만...